$\sum\limits_{r = 0}^{15} {\left( {{}^{15}{C_r} \cdot {}^{40}{C_{15}} \cdot {}^{20}{C_r} - {}^{35}{C_{15}} \cdot {}^{15}{C_r} \cdot {}^{25}{C_r}} \right)}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $m = (9n^2 + 54n + 80)(9n^2 + 45n + 54)(9n^2 + 36n + 35)$. તમામ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $m$ ને ભાગતી સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ છે?

જો $\frac{1}{8!} + \frac{1}{9!} = \frac{x}{10!}$ હોય,તો $x$ શોધો.

$UNIVERSITY$ શબ્દને યાદચ્છિક રીતે ગોઠવવામાં આવે છે. બંને $I$ સાથે ન આવે તેની સંભાવના કેટલી છે?

$0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને એવી કેટલી $4$-અંકી સંખ્યાઓ બનાવી શકાય જેમાં અંક $1$ હોય?

ત્રણ શાળાઓ અનુક્રમે $2, 4$ અને $6$ વિદ્યાર્થીઓને સમર કેમ્પમાં મોકલે છે. $12$ વિદ્યાર્થીઓને $1, 2, 3, 4, 5, 6$ નંબરવાળા $6$ રૂમમાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે દરેક રૂમમાં બરાબર $2$ વિદ્યાર્થીઓ હોય અને બંને એક જ શાળાના હોય. વિદ્યાર્થીઓને રૂમમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?